函数的最值定理
1、如果对于任意的x∈d，都有f(x)≤m，且存在xo∈d，使f(xo)=m，则称m为f(x)在d上的最大值;
如果对于任意的x∈d，都有f(x)≥m，且存在xo∈d，使f(xo)=m，则称m为f(×)在d上的最小值。
2、闭区间上的函数f(x)必定存在最大值和最小值。若函数在d上单调，则最值在端点处取得;若不单调，则一定不能用端点的函数值代替。用端点函数值代替最值是学生常常出现的高频错误，纠错方法最简单，就是利用函数的单调性。
3、函数的最值与值域是不一样的。函数在闭区间上必定存在最大值和最小值。函数的值域为闭区间[a，b]，则a为最小值，b为最大值;函数的值域开区间(a，b)，a不是最小值，b也不是最大值，此时函数没有最大值也没有最小值。函数的值域为[a，b)，函数有最小值a，没有最大值;函数的值域为(a，b]，函数有最大值b没有最小值。
题型一：用单调性求具体函数的最值
例：求函数f(×)=x/(x一1)在区间[2，5]上的最值。
习惯性错误：最小值f(2)=2，最大值f(5)=5/4。显然不对。错点是用端点函数值代替最值。
纠错：
f(x)=(x一1+1)/(x一1)=1+1/(x一1)在[2，5]上单调递减，所以f(x)的最大值为f(2)=2，最小值为f(5)=5/4。
题型二：对勾函数的最值
对勾函数是一个极其重要的函数模型，其图象和单调性必须要熟练掌握。
例.已知a>0,函数f(x)=x+a/x(x>0).
(1)用定义探求该函数的单调区间,指出其在相应区间上的单调性；
(2)若已知该函数的最小值是a-8,求实数a的值
[思路探寻]先用定义法求出f(x)的单调区间,研究其单调性，利用第(1)问的结论求出最值,最后求实数a。
[解析](1)设x1、x2是任意两个正数,且x1
f(x1)-f(x2)=……=
(x1一x2)(x1x2一a)/x1x2
(此时x1x2一a无法确定正负号，要讨论)
当0
又x1ーx20,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(0,√a)上单调递减；
而当√a≤x1a,
又x1ーx2<0,所以f(x1)一f(x2)<0,即f(x1)
(2)由(1)知该函数的最小值是f(√a)=2√a,依题意,a-8=2√a,
所以(√a)-2√a-8=0,
解得√a=4(√a=-2舍去)
所以所求的实数a=16。
[同步跟踪]
求函数y=x一1+4/(x一1)(0≤x<1)的最值。
[思路探寻]令x一1=t(一1≤t
[解析]令1ーx=t，∵0≤x<1，
∴一1≤t<0，y=t+4/t，
∵y=t+4/t在[一1，0)上单调递减，(用单调性定义证明，高二可用导数求得)。
∴y=t+4/t在[一1，0)上单调递减，所以当t=一1即x=0时函数取最大值一5，无最小值。
题型三：利用单调性求抽象函数的最值
已知定义在(0，+∞)上的函数f(×)满足f(x1/x2)=f(x1)一f(x2)，且当x>1时，f(×)<0。
（1）求f(1)的值;
（2）证明：f(x)为单调递减函数;
（3）若f(3)=一1，求f(x)在[2，9]上的最小值。
解：（1）令x2=x1>0，f(1)=f(x1)一f(x1)=0;
（2）设x1，x2∈(0，+∞)，且x11，f(x2/x1)<0，所以f(ⅹ2)一f(x1)<0即f(x2)
（3）、由（2），f(x)在[2，9]上单调递减，最小值为f(9)。因f(3)=一1，又f(9/3)=f(9)一f(3)，∴f(9)=一2，所以f(x)在[2，9]上的最小值为一2。
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