我们说几何有三宝”，勾股，相似和三角，勾股，主要利用直角三角形三边长列方程，公式带有平方，有时计算量大;相似与三角函数，依据边的比例关系列方程，计算相对简单，相似与三角函数本质上是一致的，只不过三角函数的计算须放在直角三角形中，相似没有这一限制条件，所以用途更广泛。三者相辅相成，在解综合题中，扮演者重要角色，同学们平时用心体会，寻找高效、简单的方法，熟练掌握这三大解题利器，下面着重介绍三角函数解学科综合题。
一.利用三角函数解与函数有关的综合题
1.如图，直线y=kx一1与x轴，y轴分别交于b，c两点，tan∠ocb=1/2.
(1)求点b的坐标与k的值;
(2)若点a(x，y)是直线y=kx一1上在第一象限内的一个动点，在点a的运动过程中，试写出△aob的面积s与x的函数解析式.
【分析】(1)由直线y=kx一1与y轴交于c点，可得c点坐标为(0，一1)，∴oc=1，在rt△obc中，∵tan∠ocb=ob/oc=1/2，∴ob=1/2，∴点b的坐标为(1/2，0)，又点b在直线y=kx一1上，∴可得k=2.
(2)由(1)知直线ab对应的解析式为y=2x一1，点a(x，y)在第一象限，∴s=y×ob/2=1/2×1/2(2x一1)=x/2一1/4(x>1/2).
2.已知二次函数y=ax一2ax+c(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于a，b两点，与y轴交于点c，它的顶点为p，直线cp与过点b且垂直于x轴的直线交于点d，且cp:pd=2:3.
(1)求a，b两点的坐标;
(2)若tan∠pdb=5/4，求这个二次函数的解析式.
【分析】(1)初看本题好象有两种情况，即顶点p可能在第三象限或第四象限，仔细观察发现对称轴x=一b/2a=一(一2a)/2a=1，则顶点p只能在第四象限，如图，
设对称轴与x轴交于e点，∴oe=1，易知oc∥pe∥bd，∴cp:pd=oe:eb=2:3，∴eb=3/2，(这里斜线段的比转化为水平线段之比，是一种斜化直策略，在有关坐标系，网格题，矩形题中常常用到，应仔细体会，后续的文章后会有这样的习题，同学们多留意一下)，则ob=oe+eb=5/2，∴b点坐标为(5/2，0)，∵a，b两点关于直线x=1对称，∴a点坐标为(一1/2，0).
(2)设直线cp与x轴交于点f，∵tan∠pdb=5/4，易知fb/bd=of/oc=5/4，紧抓这一三角比，进行变换列方程，求出二次函数关系式中的系数a与c，则得解，如上图，二次函数与y轴交于c点，易知c点坐标为(0，c)，(c<0)，∴oc=一c，∵of/oc=5/4，∴of=一5c/4，∴f点的坐标为(5c/4，0)，∵直线cp过点c(c，0)，设直线cp的解析式为y=kx+c，代入点f(5c/4，0)，得0=5/4×ck+c，由于c≠0，解得k=一4/5，∴直线cp的解析式为y=一4x/5+c，易知抛物线顶点p的坐标为(1，一a+c)，代入y=一4x/5+c得a=4/5，∴二次函数的解析式写为y=4x/5一8x/5+c，将点a(一1/2，0)代入解得c=一1，∴二次函数的解析式为y=4x/5一8x/5一1.
当然，本题也可这样做，如图，过点c作cf⊥bd于点f，交pe于点g，
这样作辅助线的好处是，可得cf=ob=5/2，从而利用tan∠pdb=cf/fd=5/4，得出fd=2，又可知c点坐标为(0，c)，p点坐标为(1，c一a)，从而得pg=a，∵pg∥bd，∴△cpg∽△cdf，∴pg/fd=cp/cd=2/5，∴pg=4/5，∴a=4/5，∴y=4x/5一8x/5+c，把a(一1/2，0)的坐标代入y=4x/5一8x/5+c，得c=一1，∴这个二次函数的解析式为y=4x一8x/5一1.
上面的解法中，当得到pg=a时，可利用tan∠cpg=tan∠pdb=5/4，同样能得到a=4/5，(即cg/pg=5/4，因cg=oe=1)，省去计算fd的长，这里用三角函数与上边用相似计算a，本质上是一样的.
3.如图，反比例函数y=k/x(x>0)的图象经过线段oa的端点a，o为原点，过点a作ab⊥x轴于点b，点b的坐标为(2，0)，tan∠aob=3/2.
(1)求k的值;
(2)将线段ab沿x轴正方向平移到线段dc的位置，反比例函数y=k/x(x>0)的图象恰好经过dc的中点e，求直线ae对应的函数解析式;
(3)若直线ae与x轴交于点m，与y轴交于点n，请你探索线段an与线段me的大小关系，写出你的结论，并说明理由.
【分析】(1)∵b点坐标为(2，0)，∴ob=2，又tan∠aob=3/2，∴ab≈3，∴a点坐标为(2，3)，∴k=6.
(2)由于e为dc的中点，则e点纵坐标为3/2，代入y=6/x，得e点的横坐标为4，即e点的坐标为(4，3/2)，由于直线ae过a(2，3)，e(4，3/2)，易得直线ae的解析式为y=一3x/4+9/2.
(3)由于直线ae是确定的，所以n点，与m点是确定的，易得点m(6，0)，n(0，9/2)，又a，e两点确定，则an，与me的长度确定，如图
延长da交y轴于点f，则af=2，of=3，∴nf=on一of=3/2，∴an=5/2.∵cm=6一4=2，ec=3/2，∴em=5/2，∴an=me.
另，如图，连接oe，延长da交y轴于点f，如图，
则af=2，又s△eom=om×ec/2=6×3/2×1/2=9/2，s△aon=on×af/2=9/2×2×1/2=9/2，∴s△eom=s△aon，∵△aon中an边上的高和△eom中me边上的高相等，∴an=me.
二.利用三角函数解与四边形有关的综合问题
4.在矩形abcd中，ab=12，p是边ab上一点，把△pbc沿直线pc折叠，顶点b的对应点是点g，过点b作be⊥cg，垂足为e且在ad上，be交pc于点f.
(1)如图①，若点e是ad的中点，求证△aeb≌△dec.
(2)如图②，①求证bp=bf;
②当ad=25，且ae
③当bp=9时，求be×ef的值.
【分析】(1)e是ad的中点，ae=de，∠eab=∠edc=90°，ab=cd，∴△aeb≌△dec.
(2)①如图，
由题意知∠gpc=∠bpc，又pg∥be，∠efc=∠gpc，∴∠efc=∠bpc，而∠efc=∠pfb，∴∠bpc=∠pfb，∴bp=bf.
②要求cos∠pcb的值，需求∠pcb所在直角三角形的斜边与其邻直角边的长，当ad=25，且ae
③解法一:如图，连接gf.
∵bf∥pg，bf=pg，∴四边形bpgf是平行四边形，∴bp∥gf，bp=gf=9，易得△gef∽△eab，∴ef/gf=ab/be，:be×ef=ab×gf=12×9=108.
解法二，易证△efc∽△bpc，∴ef/bp=ce/cb，又易征△aeb∽△ebc，∴ab/be=ce/cb，∴ab/be=ef/bp，∴be×ef=ab×bp=12×9=108.
解法三，过点f作fh⊥bc于h，如下图
∵s△bfc/s△bec=bf/be=9/be，s△bfc/s△bec=1/2fh×bc/1/2ab×bc=fh/12，∴9/be=fh/12，又∠bcp=∠ecp，fh⊥bc，fe⊥ce，∴fh=ef，∴be×ef=be×fh=12×9=108.
【总结】从不同的角度，解决同一个问题，有助于提高同学们分析问题，解决问题的能力，同学们平时有意识地进行这方面的练习，总结归纳简捷高效的交法，在考试中才能游刃有余.
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